Statistische Excel-Funktionen: STANDNORMINV


Dieser Artikel ist eine Übersetzung des folgenden englischsprachigen Artikels der Microsoft Knowledge Base:
826772 Excel Statistical Functions: NORMSINV

Zusammenfassung


Der vorliegende Artikel hat die folgenden Zielsetzungen:
  • Beschreibung der STANDNORMINV-Funktion in Microsoft Office Excel 2003 und späteren Versionen von Excel
  • Veranschaulichung der Verwendung dieser Funktion
  • Vergleich der Ergebnisse der Funktion für Excel 2003 und spätere Excel-Versionen mit Ergebnissen der Funktion, wie sie in früheren Excel-Versionen verwendet wird

Weitere Informationen


STANDNORMINV(p) gibt den Wert z so zurück, dass bei einer Wahrscheinlichkeit p eine standardnormalverteilte Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich z ist. Eine standardnormalverteilte Zufallsvariable weist einen Mittelwert 0 und eine Standardabweichung 1 auf (sowie eine Varianz 1, da Varianz = Standardabweichung im Quadrat).

Syntax

STANDNORMINV(p)
Hierbei ist p ein numerischer Wert. Da p einer Wahrscheinlichkeit entspricht, muss p größer als 0 und kleiner als 1 sein.

Verwendungsbeispiel

STANDNORMINV und STANDNORMVERT sind verwandte Funktionen. Wenn STANDNORMVERT(z) p zurückgibt, gibt STANDNORMINV(p) z zurück.

Erstellen Sie ein leeres Excel-Arbeitsblatt, und kopieren Sie die folgende Tabelle. Markieren Sie die Zelle A1 in dem leeren Excel-Arbeitsblatt, und fügen Sie dann die Einträge ein, sodass die Tabelle die Zellen A1:C24 in Ihrem Arbeitsblatt füllt.
zSTANDNORMVERT(z)STANDNORMINV(STANDNORMVERT(z))
0=STANDNORMVERT(A3)=STANDNORMINV(B3)
0,2=STANDNORMVERT(A4)=STANDNORMINV(B4)
0,4=STANDNORMVERT(A5)=STANDNORMINV(B5)
0,6=STANDNORMVERT(A6)=STANDNORMINV(B6)
0,8=STANDNORMVERT(A7)=STANDNORMINV(B7)
1=STANDNORMVERT(A8)=STANDNORMINV(B8)
1,5=STANDNORMVERT(A9)=STANDNORMINV(B9)
2=STANDNORMVERT(A10)=STANDNORMINV(B10)
2,5=STANDNORMVERT(A11)=STANDNORMINV(B11)
pSTANDNORMINV(p)
0,5=STANDNORMINV(B3)
0,6=STANDNORMINV(A15)
0,9=STANDNORMINV(A16)
0,95=STANDNORMINV(A17)
0,975=STANDNORMINV(A18)richtiges STANDNORMINV(p)
0,001=STANDNORMINV(A19)-3,09023
0,0001=STANDNORMINV(A20)-3,71902
0,00001=STANDNORMINV(A21)-4,26489
0,000001=STANDNORMINV(A22)-4,75342
0,0000003=STANDNORMINV(A23)-4,99122
0,0000002=STANDNORMINV(A24)-5,06896
Hinweis: Nachdem Sie diese Tabelle in ein neues Excel-Arbeitblatt eingefügt haben, klicken Sie auf Einfügeoptionen und anschließend auf Formatierung der Zielzellen übernehmen. Lassen Sie den eingefügten Bereich weiterhin markiert, und wenden Sie je nach der von Ihnen verwendeten Version von Excel eines der folgenden Verfahren an:
  • Klicken Sie in Microsoft Office Excel 2007 auf die Registerkarte Start, klicken Sie in der Gruppe Zellen auf Format, und klicken Sie anschließend auf Spaltenbreite automatisch anpassen.
  • In Excel 2003 zeigen Sie im Menü Format auf Spalte, und klicken Sie dann auf Optimale Breite.
Es wird empfohlen, die Spalten B und C so zu formatieren, dass sie einheitlich dargestellt werden (z. B. "Zahlen" mit 5 Dezimalstellen).

Die Zellen A1:B11 ergeben eine kleine Normalverteilungstabelle, ähnlich dem, was Sie möglicherweise aus statistischen Texten kennen, außer dass solche Tabellen Zeilen für viele Werte von z enthalten, die zwischen denen in A2:A11 liegen, sowie Werte, die höher sind als der Wert 2,5 in A11.

Die Zellen A13:B24 zeigen die Verwendung von STANDNORMINV. Da 0,5 aus Zelle A14 in Zelle B3 angezeigt wird, folgt daraus, dass der entsprechende Wert z, der STANDNORMVERT = 0,5 ergibt, 0 ist und STANDNORMINV(0,5) 0 zurückgibt. In Zelle B15 soll der Wert von z angezeigt werden, wobei STANDNORMVERT(z) = 0,6. Einträge in A4:B5 weisen darauf hin, dass der entsprechende Wert von z zwischen 0,2 und 0,4 liegen muss. Er muss größer sein als 0,2, da STANDNORMVERT(0,2) niedriger ist als 0,6; und er muss niedriger sein als 0,4, da STANDNORMVERT(0,4) größer ist als 0,6. Die Berechnung von STANDNORMINV in B15 ergibt den Wert 0,25335, und dies ist tatsächlich größer als 0,2 und kleiner als 0,4. Analog hierzu muss STANDNORMINV(0,9) in B16 größer als 1 und kleiner als 1,5 sein, wie die Einträge in A8:B9 zeigen. Das Ergebnis 1,28155 liegt tatsächlich innerhalb dieses Bereichs. Ebenso muss STANDNORMINV(0,95) in B17 größer als 1,5 und kleiner als 2,0 sein, wie die Einträge in A9:B10 zeigen. Das Ergebnis 1,644485 liegt tatsächlich innerhalb dieses Bereichs. Schließlich muss STANDNORMVERT(0,975) gemäß A10:B11 zwischen 1 und 1,5 liegen. Da 0,975 näher an 0,977 liegt als an 0,933, ist zu erwarten, dass STANDNORMIN(0,975) näher an 2 liegt als an 1,5. Tatsächlich liegt der Wert bei 1,965996.

Nebenbei bemerkt, frühere Benutzer statistischer Tabellen für das Testen statistischer Hypothesen und die Berechnung von Konfidenzintervallen erkennen möglicherweise die Werte in A17:B18. Die Wahrscheinlichkeit 0,05 liegt auf der rechten Seite über 1,644485, da STANDNORMVERT(1,644485) = 0,95, und die Wahrscheinlichkeit 0,025 liegt auf der rechten Seite über 1,965996, da STANDNORMVERT(0,965996) = 0,975. Diese Kürzungswerte werden häufig für einseitige bzw. zweiseitige Hypothesentests verwendet, wenn die Wahrscheinlichkeit der Zurückweisung der Nullhypothese, wenn die Annahme WAHR ist, auf 0,05 festgelegt wird.

Die Werte in C3:C11 prüfen die gegenseitige Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Quantile, in diesem Fall zwischen STANDNORMVERT und STANDNORMINV. Es sollte so sein, dass z = STANDNORMINV(STANDNORMVERT(z)). Wenn Sie diese Einträge neu formatieren, sodass deutlich mehr Dezimalstellen angezeigt werden, stellen Sie möglicherweise fest, dass das Ergebnis aufgrund von Ungenauigkeiten von STANDNORMVERT und/oder STANDNORMINV nicht ganz genau ist. Fehler treten jedoch erst nach einer so großen Zahl an Dezimalstellen auf, dass sie für den Benutzer kaum ein Problem darstellen sollten. Ergebnisse in Excel 2003 und späteren Excel-Versionen wurden im Vergleich zu den Ergebnissen in Microsoft Excel 2002 verbessert. Die Ergebnisse in Excel 2002 sind bereits präziser als die Ergebnisse in Versionen vor Excel 2002.

A19:C24 zeigt Werte von STANDNORMINV(p) für Ihre derzeitige Version von Excel für zunehmend kleinere Werte von p. Die Einträge in der Spalte C entstammen aus Tabelle 5 des Artikels On the Accuracy of Statistical Distributions in Microsoft Excel 97 (Zur Genauigkeit von statistischen Verfahren in Microsoft Excel 97) von Leo Knüsel in Computational Statistics and Data Analysis, 26, 1998, 375-377.

Ergebnisse in früheren Excel-Versionen

Die Genauigkeit der STANDNORMINV-Funktion hängt von zwei Faktoren ab. Da die Berechnung der STANDNORMINV-Funktion eine systematische Suche über die zurückgegebenen Werte der STANDNORMVERT-Funktion verwendet, ist die Genauigkeit der STANDNORMVERT-Funktion entscheidend.

Ebenso muss die Suche ausreichend präzisiert sein, dass sie auf eine passende Antwort ausgerichtet ist. Um die Tabelle der normalen Wahrscheinlichkeitsverteilung, wie sie im Lehrbuch steht, als Analogie zu verwenden, müssen die Einträge in der Tabelle ganz genau sein. Außerdem muss die Tabelle so viele Einträge enthalten, dass Sie die entsprechende Zeile der Tabelle finden können, die eine Wahrscheinlichkeit zurückgibt, die bei einer bestimmten Anzahl an Dezimalstellen richtig ist.

Wenn Sie ein Computerprogramm verwenden, müssen Sie natürlich keine solch große Tabelle erstellen und speichern. Stattdessen werden einzelne Einträge bei Bedarf erstellt, während der Suchvorgang durch die "Tabelle" durchgeführt wird. Die Tabelle muss jedoch ganz genau sein, und die Suche muss weit genug durchgeführt werden, damit sie nicht vorzeitig bei einer Antwort (oder Zeile der Tabelle) anhält, die eine entsprechende Wahrscheinlichkeit aufweist, die zu weit weg ist von dem Wert von p, den Sie im Aufruf von STANDNORMINV(p) verwenden. Daher wurde die STANDNORMINV-Funktion folgendermaßen verbessert:
  • Die Genauigkeit der STANDNORMVERT-Funktion wurde verbessert.
  • Der Suchvorgang wurde so verbessert, dass die Präzisierung erhöht wurde.
Die STANDNORMVERT-Funktion wurde in Excel 2003 und späteren Versionen von Excel verbessert. Verbesserte Präzisierungen des Suchprozesses wurden mit Excel 2002 eingeführt. In einem Artikel von Leo Knüsel (siehe Hinweis 2) werden die numerischen Mängel der STANDNORMINV-Funktion in Microsoft Excel 97 besprochen. Diese von Knüsel dokumentierten Mängel bestanden weiter, bis die Verbesserungen des Suchvorgangs in Excel 2002 die Ergebnisse sehr viel präziser machten, wobei sie jedoch noch immer nicht mit Knüsels Ergebnissen übereinstimmen.

Hinweis 2: Leo Knüsel On the Accuracy of Statistical Distributions in Microsoft Excel 97 (Zur Genauigkeit von statistischen Verfahren in Microsoft Excel 97), Computational Statistics and Data Analysis, 26, 1998, 375-377.

Ergebnisse in Excel 2003 und höheren Excel-Versionen

Das Verfahren für die Berechnung der STANDNORMINV-Funktion in Excel 2003 und höheren Version von Excel nutzt die Verbesserungen der STANDNORMVERT-Funktion in Excel 2003 und höheren Excel-Versionen.

Weitere Informationen finden Sie im folgenden Artikel der Microsoft Knowledge Base:

827369 Beschreibung der STANDNORMVERT-Funktion in Excel
Ergebnisse sollten immer mit den Ergebnissen von Knüsel entsprechend der angezeigten Dezimalstellen übereinstimmen.

Resümee

Normalerweise treten Ungenauigkeiten in früheren Versionen von Excel für extrem kleine oder extrem große Werte von p in STANDNORMINV(p) auf. Die Werte in Excel 2003 und späteren Versionen von Excel sind sehr viel präziser.

In dem Artikel über die STANDNORMVERT-Funktion wird erwähnt, dass die meisten Benutzer höchstwahrscheinlich nicht von den Ungenauigkeiten in der STANDNORMVERT-Funktion betroffen sind, die in früheren Versionen von Excel vorkommen. Daher wirken sich die Ungenauigkeiten der STANDNORMINV-Funktion höchstwahrscheinlich nicht auf Excel 2002-Benutzer aus, da in Excel 2002 bereits Verbesserungen zur Präzisierung des Suchvorgangs eingebracht wurden. Bei Benutzern früherer Version von Excel (vor Excel 2002) könnten jedoch Probleme aufgrund der Ungenauigkeit der STANDNORMINV-Funktion auftreten, da sowohl die STANDNORMVERT-Funktion als auch der Suchvorgang in diesen früheren Versionen verbesserungswürdig sind.
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