Beschreibung der statistischen Funktionen "KONFIDENZ" in Excel

Zusammenfassung

In diesem Artikel wird die Funktion KONFIDENZ in Microsoft Office Excel 2003 und Microsoft Office Excel 2007 beschrieben, wie die Funktion verwendet wird, und die Ergebnisse der Funktion für Excel 2003 und Excel 2007 mit den Ergebnissen von KONFIDENZ in früheren Versionen von Excel verglichen.

Die Bedeutung eines Konfidenzintervalls wird häufig falsch interpretiert, und wir versuchen, eine Erläuterung gültiger und ungültiger Aussagen zu liefern, die nach dem Ermitteln eines KONFIDENZwerts aus Ihren Daten vorgenommen werden können.

Weitere Informationen

Die Funktion KONFIDENZ(Alpha, Sigma, n) gibt einen Wert zurück, den Sie zum Erstellen eines Konfidenzintervalls für einen Mittelwert der Grundgesamtheit verwenden können. Das Konfidenzintervall ist ein Bereich von Werten, der auf einem bekannten Stichproben mittelwert zentriert ist. Beobachtungen in der Stichprobe werden angenommen, dass sie von einer Normalverteilung mit bekannter Standardabweichung, Sigma und der Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe n stammen.

Syntax

CONFIDENCE(alpha,sigma,n)

Parameter: Alpha ist eine Wahrscheinlichkeit und 0 < Alpha < 1. Sigma ist eine positive Zahl, und n ist eine positive ganze Zahl, die der Stichprobengröße entspricht.

Alpha ist normalerweise eine kleine Wahrscheinlichkeit, z. B. 0,05.

Beispiel für die Verwendung

Angenommen, die Werte des Intelligenz quotienten (IQ) folgen einer Normalverteilung mit Standardabweichung 15. Sie testen IQs für eine Stichprobe von 50 Schülern/Studenten in Ihrer lokalen Schule und erhalten einen Stichproben mittelwert von 105. Sie möchten ein Konfidenzintervall von 95 % für den Mittelwert der Grundgesamtheit berechnen. Ein Konfidenzintervall von 95 % oder 0,95 entspricht Alpha = 1 – 0,95 = 0,05.

Um die Funktion KONFIDENZ zu veranschaulichen, erstellen Sie ein leeres Excel-Arbeitsblatt, kopieren Sie die folgende Tabelle, und wählen Sie dann Zelle A1 in Ihrem leeren Excel-Arbeitsblatt aus. Klicken Sie im Menü Bearbeiten auf Einfügen.

Hinweis: Klicken Sie in Excel 2007 auf der Registerkarte Start in der Gruppe Zwischenablage auf Einfügen.

Die Einträge in der nachstehenden Tabelle füllen die Zellen A1:B7 auf dem Arbeitsblatt aus.

Alpha

0,05

stdev

15

m

50

Beispiel mittelwert

105

=KONFIDENZ(B1;B2;B3)

=NORMINV(1 - B1/2)*B2/SQRT(B3)

Nachdem Sie diese Tabelle in das neue Excel-Arbeitsblatt eingefügt haben, klicken Sie auf die Schaltfläche Einfügeoptionen, und klicken Sie dann auf Zielformatierung übereinstimmen.

Zeigen Sie bei weiterhin ausgewähltem bereich im Menü Format auf Spalte, und klicken Sie dann auf Auswahl automatisch anpassen.

Hinweis: Klicken Sie in Excel 2007, bei ausgewähltem markierten Zellbereich, in der Gruppe Zellen auf der Registerkarte Start auf Format, und klicken Sie dann auf Spaltenbreite automatisch anpassen.

Zelle A6 zeigt den Wert konfidenz an. Zelle A7 zeigt denselben Wert an, da ein Aufruf von KONFIDENZ(Alpha, Sigma, n) das Ergebnis der Berechnung zurückgibt:

NORMSINV(1 – alpha/2) * sigma / SQRT(n)

Es wurden keine Änderungen direkt an KONFIDENZ vorgenommen, aber NORMSINV wurde in Microsoft Excel 2002 verbessert, und dann wurden weitere Verbesserungen zwischen Excel 2002 und Excel 2007 vorgenommen. Daher kann KONFIDENZ in diesen späteren Versionen von Excel unterschiedliche (und verbesserte) Ergebnisse zurückgeben, da KONFIDENZ auf NORMINV basiert.

Dies bedeutet nicht, dass Sie das Vertrauen in KONFIDENZ für frühere Versionen von Excel verlieren sollten. Ungenauigkeiten in NORMSINV sind in der Regel für Werte des Arguments sehr nahe 0 oder sehr nahe 1 aufgetreten. In der Praxis ist Alpha im Allgemeinen auf 0,05, 0,01 oder vielleicht 0,001 festgelegt. Alphawerte müssen wesentlich kleiner sein, z. B. 0,0000001, bevor Abrundenfehler in NORMINV wahrscheinlich bemerkt werden.

Hinweis: Im Artikel zu NORMSINV finden Sie eine Diskussion über die Berechnungsunterschiede in NORMSINV.

Für weitere Informationen klicken Sie auf die folgende Artikelnummer, um den Artikel in der Microsoft Knowledge Base anzeigen zu können:

826772 Statistische Excel-Funktionen: NORMSINV

Interpretation der Ergebnisse von KONFIDENZ

Die Excel-Hilfedatei für KONFIDENZ wurde für Excel 2003 und Excel 2007 neu geschrieben, da alle früheren Versionen der Hilfedatei irreführende Ratschläge zum Interpretieren von Ergebnissen gegeben haben. Im Beispiel heißt es: "Angenommen, wir stellen fest, dass in unserer Stichprobe von 50 Pendlern die durchschnittliche Dauer der Reise zur Arbeit 30 Minuten mit einer Standardabweichung der Grundgesamtheit von 2,5 beträgt. Wir können zu 95 Prozent sicher sein, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit im Intervall 30 +/- 0,692951" liegt, wobei 0,692951 der Wert ist, der von KONFIDENZ(0,05; 2,5; 50) zurückgegeben wird.

Im gleichen Beispiel lautet die Schlussfolgerung : "Die durchschnittliche Dauer der Arbeitsdauer entspricht 30 ± 0,692951 Minuten oder 29,3 bis 30,7 Minuten". Vermutlich ist dies auch eine Aussage über den Mittelwert der Grundgesamtheit, der innerhalb des Intervalls liegt [30 – 0,692951; 30 + 0,692951] mit der Wahrscheinlichkeit 0,95.

Vor der Durchführung des Experiments, das die Daten für dieses Beispiel lieferte, kann ein klassischer Statistiker (im Gegensatz zu einem bayesischen Statistiker) keine Aussage zur Wahrscheinlichkeitsverteilung des Mittelwerts der Grundgesamtheit machen. Stattdessen befasst sich ein klassischer Statistiker mit Hypothesentests.

Beispielsweise kann ein klassischer Statistiker einen zweiseitigen Hypothesentest durchführen, der auf der Annahme einer Normalverteilung mit bekannter Standardabweichung (z. B. 2,5), einem bestimmten vorab ausgewählten Wert des Mittelwerts der Grundgesamtheit, μ0 und einem vorgewählten Signifikanzniveau (z. B. 0,05) basiert. Das Ergebnis des Tests basiert auf dem Wert des beobachteten Stichproben mittelwerts (z. B. 30), und die Nullhypothese, dass der Grundgesamtheits mittelwert μ0 ist, würde mit einem Signifikanzniveau 0,05 abgelehnt, wenn der beobachtete Stichproben mittelwert zu weit von μ0 in beide Richtungen entfernt war. Wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, liegt die Interpretation vor, dass eine Stichprobe bedeutet, dass weit oder weiter von μ0 zufällig weniger als 5 % der Zeit unter der Annahme auftreten würde, dass μ0 das echte Mittelwert der Grundgesamtheit ist. Nach durchführung dieses Tests kann ein klassischer Statistiker immer noch keine Aussage zur Wahrscheinlichkeitsverteilung des Mittelwerts der Grundgesamtheit machen.

Ein bayesischer Statistiker dagegen würde mit einer angenommenen Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Mittelwert der Grundgesamtheit beginnen (eine a priori-Verteilung genannt), experimentelle Nachweise auf die gleiche Weise wie der klassische Statistiker sammeln und diese Nachweise verwenden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Mittelwert der Grundgesamtheit zu überarbeiten und dadurch eine a posteriori-Verteilung zu erhalten. Excel stellt keine statistischen Funktionen zur Verfügung, die einem bayesischen Statistiker in diesem Bemühen helfen würden. Die statistischen Funktionen von Excel sind alle für klassische Statistiker vorgesehen.

Konfidenzintervalle sind mit Hypothesentests verknüpft. Angesichts des experimentellen Nachweises gibt ein Konfidenzintervall eine kurze Aussage zu den Werten des hypothetischen Grundgesamtheits-Mittelwerts μ0 ab, der die Annahme der Nullhypothese ergeben würde, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit μ0 ist, und die Werte von μ0, die eine Ablehnung der Nullhypothese ergeben würden, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit μ0 ist. Ein klassischer Statistiker kann keine Aussage über die Wahrscheinlichkeit treffen, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit in einem bestimmten Intervall liegt, da er niemals a priori Annahmen zu dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung macht, und solche Annahmen wären erforderlich, wenn man experimentelle Nachweise verwenden würde, um sie zu überarbeiten.

Untersuchen Sie die Beziehung zwischen Hypothesentests und Konfidenzintervallen anhand des Beispiels am Anfang dieses Abschnitts. Mit der im letzten Abschnitt angegebenen Beziehung zwischen KONFIDENZ und NORMSINV verfügen Sie über:

CONFIDENCE(0.05, 2.5, 50) = NORMSINV(1 – 0.05/2) * 2.5 / SQRT(50) = 0.692951

Da der Stichproben mittelwert 30 ist, beträgt das Konfidenzintervall 30 +/- 0,692951.

Betrachten Sie nun einen zweiseitigen Hypothesentest mit dem Zuvor beschriebenen Signifikanzniveau 0,05, bei dem von einer Normalverteilung mit Standardabweichung 2,5, einer Stichprobengröße von 50 und einem bestimmten angenommenen Mittelwert der Grundgesamtheit μ0 ausgegangen wird. Wenn dies der echte Mittelwert der Grundgesamtheit ist, wird der Stichproben mittelwert aus einer Normalverteilung mit dem Mittelwert der Grundgesamtheit μ0 und der Standardabweichung 2,5/SQRT(50) stammen. Diese Verteilung ist symmetrisch über μ0, und Sie möchten die Nullhypothese ablehnen, wenn ABS(Stichproben mittelwert - μ0) einen > wert hat. Der Stichwert würde so sein, dass, wenn μ0 der echte Mittelwert der Grundgesamtheit wäre, ein Wert des Stichproben mittelwerts – μ0 höher als dieser Grenzwert oder ein Wert von μ0 – der Stichprobenwert höher als dieser Stichwert wäre, jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,05/2 auftreten würde. Dieser Stichtagwert ist

NORMSINV(1 – 0.05/2) * 2.5/SQRT(50) = CONFIDENCE(0.05, 2.5, 50) = 0. 692951

Lehnen Sie also die Nullhypothese (Population Mean = μ0) ab, wenn eine der folgenden Aussagen zutrifft:

Beispiel mittelwert – μ0 > 0. 692951
0 – Beispiel mittelwert > 0. 692951

Da beispiel mittelwert = 30 in unserem Beispiel ist, werden diese beiden Anweisungen zu den folgenden Anweisungen:

30 - μ0 > 0. 692951
μ0 – 30 > 0. 692951

Wenn Sie sie neu schreiben, sodass nur μ0 auf der linken Seite angezeigt wird, ergeben sich die folgenden Anweisungen:

μ0 < 30 - 0. 692951
μ0 > 30 + 0. 692951

Dies sind genau die Werte von μ0, die sich nicht im Konfidenzintervall befinden [30 – 0,692951, 30 + 0,692951]. Daher enthält das Konfidenzintervall [30 – 0,692951, 30 + 0,692951] die Werte von μ0, bei denen die Nullhypothese, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit μ0 ist, aufgrund des Beispielbeweis nicht abgelehnt würde. Bei Werten von μ0 außerhalb dieses Intervalls würde die Nullhypothese, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit μ0 ist, aufgrund des Stichprobenbeweiss abgelehnt.

Schlussfolgerungen

Ungenauigkeiten in früheren Versionen von Excel treten im Allgemeinen bei extrem kleinen oder extrem großen Werten von p in NORMINV(p) auf. KONFIDENZ wird durch Aufrufen von NORMINV(p) ausgewertet. Daher ist die Genauigkeit von NORMSINV ein potenzielles Problem für Benutzer von KONFIDENZ. Werte von p, die in der Praxis verwendet werden, sind jedoch wahrscheinlich nicht extrem genug, um erhebliche Abrundeungsfehler in NORMSINV zu verursachen, und die Leistung von KONFIDENZ sollte für Benutzer einer Beliebigen Version von Excel kein Problem sein.

Der Großteil dieses Artikels konzentriert sich auf die Interpretation der Ergebnisse von KONFIDENZ. Mit anderen Worten, wir haben gefragt: "Was ist die Bedeutung eines Konfidenzintervalls?" Konfidenzintervalle werden häufig falsch verstanden. Leider haben Excel-Hilfedateien in allen Versionen von Excel, die vor Excel 2003 liegen, zu diesem Missverständnis beigetragen. Die Excel 2003-Hilfedatei wurde verbessert.

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