概要
この記事では、Microsoft Office Excel 2003 および Microsoft Office Excel 2007 の CONFIDENCE 関数について説明し、関数の使用方法を示し、Excel 2003 と Excel 2007 の関数の結果を、以前のバージョンの Excel の CONFIDENCE の結果と比較します。
信頼区間の意味は誤って解釈されることが多く、データから CONFIDENCE 値を決定した後に実行できる有効なステートメントと無効なステートメントの説明を提供しようとします。
詳細情報
CONFIDENCE(alpha, sigma, n) 関数は、母集団平均の信頼区間を構築するために使用できる値を返します。 信頼区間は、既知のサンプル平均を中心とする値の範囲です。 サンプル内の観測値は、既知の標準偏差、σ を持つ正規分布から来ていると見なされ、サンプル内の観測値の数は n です。
構文
CONFIDENCE(alpha,sigma,n)
パラメーター: アルファは確率で、アルファ < 1 < 0 です。 Sigma は正の数値、n はサンプル サイズに対応する正の整数です。
通常、アルファは 0.05 などの小さな確率です。
使用例
インテリジェンス商 (IQ) スコアが標準偏差 15 の正規分布に従うとします。 地元の学校で 50 人の学生のサンプルの IQ をテストし、105 のサンプル平均を取得します。 母集団平均の 95% 信頼区間を計算する必要があります。 95% または 0.95 の信頼区間は、アルファ = 1 – 0.95 = 0.05 に対応します。
CONFIDENCE 関数を説明するには、空白の Excel ワークシートを作成し、次の表をコピーし、空白の Excel ワークシートでセル A1 を選択します。 [編集] メニューの [貼り付け] をクリックします。
注: Excel 2007 で、[ホーム] タブの [クリップボード] グループで [貼り付け] をクリックします。
次の表のエントリは、ワークシートのセル A1:B7 を埋めます。
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アルファ |
0.05 |
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標準偏差 |
15 |
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n |
50 |
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サンプル平均 |
105 |
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=CONFIDENCE(B1,B2,B3) |
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=NORMSINV(1 - B1/2)*B2/SQRT(B3) |
このテーブルを新しい Excel ワークシートに貼り付けた後、[貼り付けオプション] ボタンをクリックし、[一致する変換先の書式設定] をクリックします。
貼り付けた範囲がまだ選択されている状態で、[書式] メニューの [列] をポイントし、[オートフィットの選択] をクリックします。
注: Excel 2007 では、貼り付けたセル範囲が選択されている状態で、[ホーム] タブの [セル] グループで [書式] をクリックし、[列の幅の自動調整] をクリックします。
セル A6 に CONFIDENCE の値が表示されます。 セル A7 は、CONFIDENCE(alpha, sigma, n) の呼び出しが計算の結果を返すので、同じ値を示します。
NORMSINV(1 – alpha/2) * sigma / SQRT(n)
CONFIDENCE に直接変更は加えられなかったが、MICROSOFT Excel 2002 では NORMSINV が改善され、その後、Excel 2002 と Excel 2007 の間でより多くの改善が行われました。 したがって、CONFIDENCE は NORMSINV に依存しているため、これらの新しいバージョンの Excel では異なる (および改善された) 結果が返される可能性があります。
これは、以前のバージョンの Excel の CONFIDENCE に対する信頼を失う必要があることを意味するものではありません。 NORMSINV の不正確さは、通常、引数の値が 0 に非常に近い場合、または 1 に非常に近い場合に発生します。 実際には、アルファは通常、0.05、0.01、または 0.001 に設定されます。 ALPHA の値は、NORMSINV の丸めエラーが検出される前に、たとえば 0.0000001 よりもはるかに小さくする必要があります。
注: NORMSINV の計算の違いについては、NORMSINV に関する記事を参照してください。
詳細については、次のマイクロソフト サポート技術情報番号をクリックしてください。
826772 Excel 統計関数: NORMSINV
コンフィデンスの結果の解釈
Excel 2003 および Excel 2007 の場合は、以前のすべてのバージョンのヘルプ ファイルが結果の解釈について誤解を招くようなアドバイスを提供したため、CONFIDENCE 用の Excel ヘルプ ファイルが書き換えられます。 例では、「50 人の通勤者のサンプルでは、平均勤務時間は 30 分で、人口標準偏差は 2.5 であるとします。 母集団平均が 30 +/- 0.692951" の間隔にあり、0.692951 は CONFIDENCE(0.05, 2.5, 50) によって返される値であると 95% 確信できます。
同じ例の場合、結論は "平均作業時間の長さは 30 ± 0.692951 分、つまり 29.3 から 30.7 分です" と読み上げられます。 おそらくこれは、確率 0.95 の区間 [30 – 0.692951, 30 + 0.692951] 内にある母集団平均に関する記述でもあります。
この例のデータを生成した実験を実施する前に、古典的統計学者 (ベイジアン統計学者とは対照的) は、母集団平均の確率分布に関する記述を行いません。 代わりに、古典的な統計学者は仮説検定を扱います。
たとえば、古典的統計学者は、既知の標準偏差 (2.5 など) を持つ正規分布の仮定、母集団平均の特定の事前に選択された値、μ0、事前に選択された有意水準 (0.05 など) に基づく両面仮説検定を行いたい場合があります。 検定の結果は、観察されたサンプル平均の値(例えば30)に基づいており、観察されたサンプル平均がいずれかの方向にμ0から遠すぎる場合、母集団平均がμ0であるという帰無仮説は有意水準0.05で棄却されます。 帰無仮説が棄却された場合、標本は、μ0が真の母集団平均であるという仮定の下で、偶然にμ0から遠くまたはそれ以上の時間が発生することを意味するということです。 この検定を実施した後も、古典統計学者は母集団平均の確率分布に関する記述を行うことはできません。
一方、ベイズ統計学者は、母集団平均の確率分布 (事前分布という名前) から始まり、古典的統計学者と同じ方法で実験的証拠を収集し、この証拠を使用して母集団平均の確率分布を修正し、事後分布を得る。 Excel では、ベイズ統計学者がこの取り組みを支援する統計関数は提供されません。 Excel の統計関数はすべて、従来の統計学者を対象としています。
信頼区間は仮説検定に関連します。 実験の証拠を考えると、信頼区間は、母集団平均がμ0であるという帰無仮説の受け入れを生み出す仮説μ0の値と、母集団平均がμ0であるという帰無仮説の拒否をもたらすμ0の値についての簡潔な声明を出します。 古典的統計学者は、母集団平均が特定の間隔に収まる可能性について何も述べることができません。これは、この確率分布に関する事前の仮定を行わず、実験的証拠を使用して修正する場合にそのような仮定が必要になるためです。
このセクションの先頭にある例を使用して、仮説検定と信頼区間の関係を調べる。 前回のセクションで示した CONFIDENCE と NORMSINV の関係を使用すると、次の情報が得られます。
CONFIDENCE(0.05, 2.5, 50) = NORMSINV(1 – 0.05/2) * 2.5 / SQRT(50) = 0.692951
サンプル平均は 30 であるため、信頼区間は 30 +/- 0.692951 です。
ここで、標準偏差 2.5 の正規分布、50 のサンプル サイズ、および特定の仮説母集団平均 μ0 を想定した、有意水準 0.05 の両側仮説検定を検討します。 これが真の母集団平均の場合、標本平均は母集団平均μ0と標準偏差2.5/SQRT(50)の正規分布から得られます。 この分布はμ0に関して対称であり、ABS(標本平均 - μ0)が何らかのカットオフ値を > 場合、帰無仮説を棄却したいと考えています。 カットオフ値は、μ0 が真の母集団平均の場合、サンプル平均の値 (このカットオフより μ0 が高い場合)、または μ0 の値である場合、このカットオフよりも高いサンプル平均がそれぞれ確率 0.05/2 で発生します。 このカットオフ値は、
NORMSINV(1 – 0.05/2) * 2.5/SQRT(50) = CONFIDENCE(0.05, 2.5, 50) = 0. 692951
したがって、次のいずれかのステートメントが true の場合は、帰無仮説 (母集団平均 = μ0) を棄却します。
サンプル平均 - μ0 > 0。
692951
0 – サンプル平均 > 0. 692951
この例のサンプル平均 = 30 であるため、これらの 2 つのステートメントは次のステートメントになります。
30 - μ0 > 0。
692951
μ0 – 30 > 0. 692951
左側に μ0 のみが表示されるように書き直すると、次のステートメントが生成されます。
μ0 < 30 - 0。
692951
μ0 > 30 + 0. 692951
これらは、信頼区間 [30 – 0.692951, 30 + 0.692951] に含まれていない μ0 の値です。 したがって、信頼区間 [30 – 0.692951, 30 + 0.692951] には、標本証拠を考えると、母集団平均が μ0 であるという帰無仮説が棄却されない μ0 の値が含まれています。 この区間外のμ0の値の場合、標本の証拠を考えると、母集団平均がμ0であるという帰無仮説が棄却されます。
結論
以前のバージョンの Excel の不正確さは、通常、NORMSINV(p) の p の値が非常に小さいか非常に大きい場合に発生します。 CONFIDENCE は NORMSINV(p) を呼び出すことによって評価されるため、NORMSINV の精度は CONFIDENCE のユーザーにとって潜在的な懸念事項です。 ただし、実際に使用される p の値は、NORMSINV で重大な丸め誤差を引き起こすほど極端な値ではない可能性があります。また、CONFIDENCE のパフォーマンスは、任意のバージョンの Excel のユーザーにとって問題になりません。
この記事のほとんどは、CONFIDENCE の結果の解釈に焦点を当てています。 つまり、"信頼区間の意味は何ですか? 信頼区間は頻繁に誤解されます。 残念ながら、Excel 2003 より前のすべてのバージョンの Excel ヘルプ ファイルは、この誤解に貢献しています。 Excel 2003 ヘルプ ファイルが改善されました。
