В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции LINEST в Microsoft Excel. Ссылки на дополнительные сведения о диаграммах и выполнении регрессионного анализа можно найти в разделе См. также.

Описание

Функция ЛИНЕЙН рассчитывает статистику для ряда с применением метода наименьших квадратов, чтобы вычислить прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные и затем возвращает массив, который описывает полученную прямую. Функцию ЛИНЕЙН также можно объединять с другими функциями для вычисления других видов моделей, являющихся линейными по неизвестным параметрам, включая полиномиальные, логарифмические, экспоненциальные и степенные ряды. Поскольку возвращается массив значений, функция должна задаваться в виде формулы массива. Инструкции приведены в данной статье после примеров.

Уравнение для прямой линии имеет следующий вид:

y = mx + b

или

y = m1x1 + m2x2 +... + b

если существует несколько диапазонов значений x, где зависимые значения y — функции независимых значений x. Значения m — коэффициенты, соответствующие каждому значению x, а b — постоянная. Обратите внимание, что y, x и m могут быть векторами. Функция ЛИНЕЙН возвращает массив {mn;mn-1;...;m1;b}. Функция ЛИНЕЙН может также возвращать дополнительную регрессионную статистику.

Синтаксис

ЛИНЕЙН(известные_значения_y; [известные_значения_x]; [конст]; [статистика])

Аргументы функции ЛИНЕЙН описаны ниже.

Синтаксис

  • Известные_значения_y.    Обязательный аргумент. Множество значений y, которые уже известны для соотношения y = mx + b.

    • Если массив известные_значения_y имеет один столбец, то каждый столбец массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная.

    • Если массив известные_значения_y имеет одну строку, то каждая строка массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная.

  • Известные_значения_x.    Необязательный аргумент. Множество значений x, которые уже известны для соотношения y = mx + b.

    • Массив известные_значения_x может содержать одно или несколько множеств переменных. Если используется только одна переменная, то массивы известные_значения_y и известные_значения_x могут иметь любую форму — при условии, что они имеют одинаковую размерность. Если используется более одной переменной, то известные_значения_y должны быть вектором (т. е. интервалом высотой в одну строку или шириной в один столбец).

    • Если массив известные_значения_x опущен, то предполагается, что это массив {1;2;3;...}, имеющий такой же размер, что и массив известные_значения_y.

  • Конст.    Необязательный аргумент. Логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0.

    • Если аргумент конст имеет значение ИСТИНА или опущен, то константа b вычисляется обычным образом.

    • Если аргумент конст имеет значение ЛОЖЬ, то значение b полагается равным 0 и значения m подбираются таким образом, чтобы выполнялось соотношение y = mx.

  • Статистика.    Необязательный аргумент. Логическое значение, которое указывает, требуется ли вернуть дополнительную регрессионную статистику.

    • Если статистика имеет true, то LINEST возвращает дополнительную регрессию; в результате возвращается массив {mn;mn-1,...,m1;b;sen,sen-1,...,se1;seb;r2;sey; F,df;ssreg,ssresid}.

    • Если аргумент статистика имеет значение ЛОЖЬ или опущен, функция ЛИНЕЙН возвращает только коэффициенты m и постоянную b.

      Дополнительная регрессионная статистика.

Величина

Описание

se1,se2,...,sen

Стандартные значения ошибок для коэффициентов m1,m2,...,mn.

seb

Стандартное значение ошибки для постоянной b (seb = #Н/Д, если аргумент конст имеет значение ЛОЖЬ).

r2

Коэффициент определения. Сравнивает предполагаемые и фактические значения y и диапазоны значений от 0 до 1. Если значение 1, то в выборке будет отличная корреляция— разница между предполагаемым значением y и фактическим значением y не существует. С другой стороны, если коэффициент определения — 0, уравнение регрессии не помогает предсказать значение y. Сведения о том, каквычисляется 2, см. в разделе "Замечания" далее в этой теме.

sey

Стандартная ошибка для оценки y.

F

F-статистика или F-наблюдаемое значение. F-статистика используется для определения того, является ли случайной наблюдаемая взаимосвязь между зависимой и независимой переменными.

df

Степени свободы. Степени свободы используются для нахождения F-критических значений в статистической таблице. Для определения уровня надежности модели необходимо сравнить значения в таблице с F-статистикой, возвращаемой функцией ЛИНЕЙН. Дополнительные сведения о вычислении величины df см. ниже в разделе "Замечания". Далее в примере 4 показано использование величин F и df.

ssreg

Регрессионная сумма квадратов.

ssresid

Остаточная сумма квадратов. Дополнительные сведения о расчете величин ssreg и ssresid см. в подразделе "Замечания" в конце данного раздела.

На приведенном ниже рисунке показано, в каком порядке возвращается дополнительная регрессионная статистика.

Лист

Замечания

  • Любую прямую можно описать ее наклоном и пересечением с осью y:

    Наклон (m):
    Чтобы найти наклон линии, обычно записанной как m, возьмите две точки на строке (x1;y1) и (x2;y2); наклон равен (y2 - y1)/(x2 - x1).

    Y-перехват (b):
    Y-пересечение строки, обычно записанное как b, — это значение y в точке, в которой линия пересекает ось y.

    Уравнение прямой имеет вид y = mx + b. Если известны значения m и b, то можно вычислить любую точку на прямой, подставляя значения y или x в уравнение. Можно также воспользоваться функцией ТЕНДЕНЦИЯ.

  • Если имеется только одна независимая переменная x, можно получить наклон и y-пересечение непосредственно, воспользовавшись следующими формулами:

    Наклон:
    =ИНДЕКС( LINEST(known_y,known_x's);1)

    Y-перехват:
    =ИНДЕКС( LINEST(known_y,known_x),2)

  • Точность аппроксимации с помощью прямой, вычисленной функцией ЛИНЕЙН, зависит от степени разброса данных. Чем ближе данные к прямой, тем более точной является модель ЛИНЕЙН. Функция ЛИНЕЙН использует для определения наилучшей аппроксимации данных метод наименьших квадратов. Когда имеется только одна независимая переменная x, значения m и b вычисляются по следующим формулам:

    Уравнение

    Уравнение

    где x и y — выборочные средние значения, например x = СРЗНАЧ(известные_значения_x), а y = СРЗНАЧ(известные_значения_y).

  • Функции ЛИННЕСТРОЙ и ЛОГЪЕСТ могут вычислять наилучшие прямые или экспоненциальное кривой, которые подходят для ваших данных. Однако необходимо решить, какой из двух результатов лучше всего подходит для ваших данных. Вы можетевычислить known_y(known_x) для прямой линии или РОСТ(known_y, known_x в) для экспоненциальной кривой. Эти функции без аргумента new_x возвращают массив значений y, спрогнозируемых вдоль этой линии или кривой в фактических точках данных. Затем можно сравнить спрогнозируемые значения с фактическими значениями. Для наглядного сравнения можно отобразить оба этих диаграммы.

  • Проводя регрессионный анализ, Microsoft Excel вычисляет для каждой точки квадрат разности между прогнозируемым значением y и фактическим значением y. Сумма этих квадратов разностей называется остаточной суммой квадратов (ssresid). Затем Microsoft Excel подсчитывает общую сумму квадратов (sstotal). Если конст = ИСТИНА или значение этого аргумента не указано, общая сумма квадратов будет равна сумме квадратов разностей действительных значений y и средних значений y. При конст = ЛОЖЬ общая сумма квадратов будет равна сумме квадратов действительных значений y (без вычитания среднего значения y из частного значения y). После этого регрессионную сумму квадратов можно вычислить следующим образом: ssreg = sstotal - ssresid. Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента определения r2— индикатор того, насколько хорошо уравнение, выданное в результате регрессионного анализа, объясняет связь между переменными. Значение r2 равно ssreg/sstotal.

  • В некоторых случаях один или несколько столбцов X (предполагается, что значения Y и X — в столбцах) могут не иметь дополнительного прогнозируемого значения при наличии других столбцов X. Другими словами, удаление одного или более столбцов X может привести к одинаковой точности предсказания значений Y. В этом случае эти избыточные столбцы X следует не использовать в модели регрессии. Этот вариант называется "коллинеарность", так как любой избыточный X-столбец может быть выражен как сумма многих не избыточных X-столбцов. Функция ЛИНЕЙН проверяет коллинеарность и удаляет все избыточные X-столбцы из модели регрессии при их идентификации. Удалены столбцы X распознаются в результатах LINEST как имеющие коэффициенты 0 в дополнение к значениям 0 se. Если один или несколько столбцов будут удалены как избыточные, это влияет на df, поскольку df зависит от числа X столбцов, фактически используемых для прогнозирования. Подробные сведения о вычислении df см. в примере 4. Если значение df изменилось из-за удаления избыточных X-столбцов, это также влияет на значения Sey и F. Коллинеарность должна быть относительно редкой на практике. Однако чаще всего возникают ситуации, когда некоторые столбцы X содержат только значения 0 и 1 в качестве индикаторов того, является ли тема в эксперименте участником определенной группы или не является ее участником. Если конст = ИСТИНА или опущен, функция LYST фактически вставляет дополнительный столбец X из всех 1 значений для моделирования перехвата. Если у вас есть столбец с значением 1 для каждой темы, если мальчик, или 0, а также столбец с 1 для каждой темы, если она является женщиной, или 0, последний столбец является избыточным, так как записи в нем могут быть получены из вычитания записи в столбце "самец" из записи в дополнительном столбце всех 1 значений, добавленных функцией LINEST.

  • Вычисление значения df для случаев, когда столбцы X удаляются из модели вследствие коллинеарности происходит следующим образом: если существует k столбцов известных_значений_x и значение конст = ИСТИНА или не указано, то df = n – k – 1. Если конст = ЛОЖЬ, то df = n - k. В обоих случаях удаление столбцов X вследствие коллинеарности увеличивает значение df на 1.

  • При вводе константы массива (например, в качестве аргумента известные_значения_x) следует использовать точку с запятой для разделения значений в одной строке и двоеточие для разделения строк. Знаки-разделители могут быть другими в зависимости от региональных параметров.

  • Следует отметить, что значения y, предсказанные с помощью уравнения регрессии, возможно, не будут правильными, если они располагаются вне интервала значений y, которые использовались для определения уравнения.

  • Основной алгоритм, используемый в функции ЛИНЕЙН, отличается от основного алгоритма функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Разница между алгоритмами может привести к различным результатам при неопределенных и коллинеарных данных. Например, если точки данных аргумента известные_значения_y равны 0, а точки данных аргумента известные_значения_x равны 1, то:

    • Функция ЛИНЕЙН возвращает значение, равное 0. Алгоритм функции ЛИНЕЙН используется для возвращения подходящих значений для коллинеарных данных, и в данном случае может быть найден по меньшей мере один ответ.

    • Наклон и ОТОКП возвращают #DIV/0! ошибка "#ЗНАЧ!". Алгоритм функций НАКЛОН и ОТОКП предназначен для поиска только одного ответа, и в этом случае может быть несколько ответов.

  • Помимо вычисления статистики для других типов регрессии с помощью функции ЛГРФПРИБЛ, для вычисления диапазонов некоторых других типов регрессий можно использовать функцию ЛИНЕЙН, вводя функции переменных x и y как ряды переменных х и у для ЛИНЕЙН. Например, следующая формула:

    =ЛИНЕЙН(значения_y, значения_x^СТОЛБЕЦ($A:$C))

    работает при наличии одного столбца значений Y и одного столбца значений Х для вычисления аппроксимации куба (многочлен 3-й степени) следующей формы:

    y = m1*x + m2*x^2 + m3*x^3 + b

    Формула может быть изменена для расчетов других типов регрессии, но в отдельных случаях требуется корректировка выходных значений и других статистических данных.

  • Значение F-теста, возвращаемое функцией ЛИНЕЙН, отличается от значения, возвращаемого функцией ФТЕСТ. Функция ЛИНЕЙН возвращает F-статистику, в то время как ФТЕСТ возвращает вероятность.

Примеры

Пример 1. Наклон и Y-пересечение

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Известные значения y

Известные значения x

1

0

9

4

5

2

7

3

Результат (наклон)

Результат (y-пересечение)

2

1

Формула (формула массива в ячейках A7:B7)

=ЛИНЕЙН(A2:A5;B2:B5;;ЛОЖЬ)

Пример 2. Простая линейная регрессия

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Месяц

Продажи

1

3 100 ₽

2

4 500 ₽

3

4 400 ₽

4

5 400 ₽

5

7 500 ₽

6

8 100 ₽

Формула

Результат

=СУММ(ЛИНЕЙН(B1:B6; A2:A7)*{9;1})

11 000 ₽

Вычисляет предполагаемый объем продаж в девятом месяце на основе данных о продажах за период с первого по шестой месяцы.

Пример 3. Множественная линейная регрессия

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Общая площадь (x1)

Количество офисов (x2)

Количество входов (x3)

Время эксплуатации (x4)

Оценочная цена (y)

2310

2

2

20

142 000 ₽

2333

2

2

12

144 000 ₽

2356

3

1,5

33

151 000 ₽

2379

3

2

43

150 000 ₽

2402

2

3

53

139 000 ₽

2425

4

2

23

169 000 ₽

2448

2

1,5

99

126 000 ₽

2471

2

2

34

142 900 ₽

2494

3

3

23

163 000 ₽

2517

4

4

55

169 000 ₽

2540

2

3

22

149 000 ₽

-234,2371645

13,26801148

0,996747993

459,7536742

1732393319

Формула (формула динамического массива, введенная в A19)

=ЛИНЕЙН(E2:E12; A2:D12; ИСТИНА; ИСТИНА)

Пример 4. Использование статистики F и r2

В предыдущем примере коэффициент определения (r2)составляет 0,99675 (см. ячейку A17 в результатах для ЛИТН), что указывает на крепкая связь между независимыми переменными и ценой продажи. F-статистику можно использовать для определения случайности этих результатов с таким высоким значением r2.

Предположим, что на самом деле взаимосвязи между переменными не существует, просто статистический анализ вывел сильную взаимозависимость по взятой равномерной выборке 11 зданий. Величина "Альфа" используется для обозначения вероятности ошибочного вывода о существовании сильная взаимозависимости.

Значения F и df в результатах функции LINEST можно использовать для оценки вероятности возникновения более высокого F-значения. F можно сравнивать с критическими значениями в опубликованных F-таблицах или с помощью функции FРАСП в Excel для вычисления вероятности случайного возникновения большего F-значения. Соответствующее F-распределение имеет v1 и v2 степени свободы. Если n — количество точек данных и конст = ИСТИНА или опущен, то v1 = n – df – 1 и v2 = df. (Если конст = ЛОЖЬ, то v1 = n – df и v2 = df.) Функция FIST с синтаксисом FDIST(F;v1;v2) возвращает вероятность возникновения более высокого F-значения, случайного. В этом примере df = 6 (ячейка B18) и F = 459,753674 (ячейка A18).

Предположим, что альфа имеет значение 0,05, v1 = 11 – 6 – 1 = 4, а v2 = 6, критический уровень F составляет 4,53. Поскольку F = 459,753674 значительно больше 4,53, вероятность того, что F-значение этого высокой случайности превышает 4,53, крайне маловероятно. (Если значение "Альфа" = 0,05, гипотеза о том, что между known_y и known_x нет связи, отклоняется при превышении F критического уровня (4,53).) Функцию FDIST в Excel можно использовать для получения вероятности случайного возникновения F-значения. Например, FIST(459,753674, 4, 6) = 1,37E-7, очень небольшая вероятность. Можно сделать вывод о том, что формула регрессии полезна для предсказания оценочного значения офисных зданий в этой области, найдя критический уровень F в таблице или с помощью функции FDIST. Помните, что крайне важно использовать правильные значения 1 и 2, вычисленные в предыдущем абзаце.

Пример 5. Вычисление t-статистики

Другой тест позволяет определить, подходит ли каждый коэффициент наклона для оценки стоимости здания под офис в примере 3. Например, чтобы проверить, имеет ли срок эксплуатации здания статистическую значимость, разделим -234,24 (коэффициент наклона для срока эксплуатации здания) на 13,268 (оценка стандартной ошибки для коэффициента времени эксплуатации из ячейки A15). Ниже приводится наблюдаемое t-значение:

t = m4 ÷ se4 = –234,24 ÷ 13,268 = –17,7

Если абсолютное значение t достаточно велико, можно сделать вывод, что коэффициент наклона можно использовать для оценки стоимости здания под офис в примере 3. В таблице ниже приведены абсолютные значения четырех наблюдаемых t-значений.

Если обратиться к справочнику по математической статистике, то окажется, что t-критическое двустороннее с 6 степенями свободы равно 2,447 при Альфа = 0,05. Критическое значение также можно также найти с помощью функции Microsoft Excel СТЬЮДРАСПОБР. СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 6) = 2,447. Поскольку абсолютная величина t, равная 17,7, больше, чем 2,447, срок эксплуатации — это важная переменная для оценки стоимости здания под офис. Аналогичным образом можно протестировать все другие переменные на статистическую значимость. Ниже приводятся наблюдаемые t-значения для каждой из независимых переменных.

Переменная

t-наблюдаемое значение

Общая площадь

5,1

Количество офисов

31,3

Количество входов

4,8

Возраст

17,7

Абсолютная величина всех этих значений больше, чем 2,447. Следовательно, все переменные, использованные в уравнении регрессии, полезны для предсказания оценочной стоимости здания под офис в данном районе.

Нужна дополнительная помощь?

Совершенствование навыков
Перейти к обучению
Первоочередный доступ к новым возможностям
Присоединение к программе предварительной оценки Майкрософт

Были ли сведения полезными?

Насколько вы удовлетворены качеством перевода?

Что повлияло на вашу оценку?

Добавите что-нибудь? Это необязательно

Спасибо за ваш отзыв!

×