ここでは、Microsoft Excel の LINEST 関数の書式および使用法について説明します。
説明
LINEST 関数は、"最小二乗法" を使って指定したデータに最もよく適合する直線を算出し、この直線を記述する配列を返すことによって直線の補正項を計算します。 LINEST 関数を他の関数と共に使用して、多項式近似、対数近似、指数近似、べき級数をはじめとする、不明なパラメーター内で線形近似を示す他の種類のモデルの統計を計算することもできます。 この関数は値の配列を返すため、配列数式として入力する必要があります。 方法については、この記事の「使用例」の後に示します。
直線は次の方程式で表されます。
y = mx + b
または
y = m1x1 + m2x2 + ... + b
これは、x の値が複数の範囲にある場合に適用されます (ここで、従属変数 y は独立変数 x の関数です)。 m の値はそれぞれの x の値に対応する係数であり、b は定数です。 y、x、および m がベクトル (1 次元配列) であり得ることに注意してください。 LINEST 関数が返す配列は、{mn,mn-1,...,m1,b} となります。 また、回帰直線の補正項も追加情報として返されます。
書式
LINEST(既知の y, [既知の x], [定数], [補正])
LINEST 関数の書式には、次の引数があります。
known_y 必須。 既にわかっている y の値の系列であり、y = mx + b という関係が成り立ちます。
- known_yの範囲が 1 つの列内にある場合、known_xの各列は個別の変数として解釈されます。
- known_y の範囲が 1 つの行に含まれている場合、known_xの各行は個別の変数として解釈されます。
known_x オプション。 既にわかっている x の値の系列であり、y = mx + b という関係が成り立ちます。
- known_xの範囲には、1 つ以上の変数セットを含めることができます。 1 つの変数のみを使用する場合、 known_yとknown_x は 、次元が等しい限り、任意の図形の範囲にすることができます。 複数の変数を使用する場合、 known_y は ベクトル (つまり、高さが 1 行または幅が 1 列の範囲) である必要があります。
- known_x を省略すると、known_y と同じサイズの配列 {1,2,3,...} であると見なされます。
const オプション。 定数 b を 0 にするかどうかを論理値で指定します。
- const が TRUE か省略された場合、b は正常に計算されます。
- const が FALSE の場合、b は 0 に設定され、m 値は y = mx に適合するように調整されます。
stats オプション。 回帰直線の補正項を追加情報として返すかどうかを論理値で指定します。
- stats が TRUE の場合、LINEST は追加の回帰統計を返します。その結果、返される配列は {mn,mn-1,...,m1,b;sen,sen-1,...,SE1,SEB;r2、sey;F,df;ssreg,ssresid}.
-
stats が FALSE であるか省略された場合、LINEST は m 係数と定数 b のみを返します。
次のような回帰直線の補正項が追加情報として返されます。
| 補正項 | 説明 |
|---|---|
| se1,se2,...,sen | 係数 m1,m2,...,mn に対する標準誤差の値です。 |
| seb | 定数 b の標準エラー値 ( const が FALSE の場合、seb = #N/A)。 |
| r2 | 決定係数。 Y の推定値と実際の Y 値を比較し、0 から 1 までの値の範囲を計算します。 1 の場合、標本には完全な相関関係があり、推定された y 値と実際の y 値の間に差はありません。 反対に、決定係数が 0 の場合、回帰式は y 値の予測に役立ちません。 2 の計算方法の詳細については、このトピックで後述する「解説」を参照してください。 |
| sey | 予測される y の値に対する標準誤差です。 |
| F | F 補正項または F 観測値。 F 補正項を利用すると、独立変数と従属変数の間で観察された関係が偶然によるものかどうかを判定できます。 |
| df | 自由度です。 自由度を利用すると、統計表の中で F の臨界値を見つけるのに役立ちます。 統計表の中で見つけた値と、LINEST 関数が返す F 補正項を比較すると、モデルの信頼性の度合いを決めることができます。 df の計算方法については、後の「解説」を参照してください。 下記の「使用例 4」は、F と df の使い方を示しています。 |
| ssreg | 回帰の平方和です。 |
| ssresid | 残余の平方和です。 ssreg と ssresid の計算方法については、後の「解説」を参照してください。 |
次の図は、回帰直線の追加の補正項が返される順序を示します。
解説
傾きと y 切片を使って任意の直線を記述できます。
勾配(m):
しばしばmと書かれる線の傾きを見つけるには、線上の2つの点、(x1,y1)と(x2,y2)を取ります。勾配は (y2 - y1)/(x2 - x1) に等しくなります。
Y 切片 (b):
線の y 切片は、多くの場合 b と記述され、線が y 軸と交差する点での y の値です。
直線の方程式は y = mx + b で表されます。 m と b の値がわかれば、y または x の値をこの方程式に代入して、直線上の任意の点の座標を計算できます。 この計算に、TREND 関数を使用することもできます。独立変数 x が 1 つしかわからないときは、次の数式を使用すると、傾きと y 切片を計算することができます。
勾配:
=INDEX(LINEST(known_y's,known_x's),1)
Y 切片:
=INDEX(LINEST(known_y's,known_x's),2)LINEST 関数で計算した直線の精度は、指定したデータのばらつきによって決まります。 データの分布がより直線に近ければ、LINEST 関数のモデルの精度はそれだけ向上します。 LINEST 関数では、データに最もよく合う直線を見つけるために最小二乗法を使用しています。 独立変数 x の値が 1 つしかわからないときは、次の数式を使って m と b の値が計算されます。
ここで、x と y はサンプル平均です。つまり、x = AVERAGE(既知のx) および y = AVERAGE(known_y)です。線適合関数と曲線適合関数 LINEST と LOGEST は、データに最適な直線または指数曲線を計算できます。 ただし、2 つの結果のうちどちらがデータに最も適しているかを判断する必要があります。 直線の場合は TREND(known_y's,known_x's) を、指数曲線の場合は GROWTH(known_y's, known_x's) を計算できます。 これらの関数は、 new_xの 引数を持たず、実際のデータ ポイントでその線または曲線に沿って予測された y 値の配列を返します。 この結果、予測された値を実際の値と比較できます。 視覚的な比較のために、両方をグラフ化することもできます。
回帰分析では、直線上の各点ごとに、予測される y の値と実際の y の値との平方差が計算されます。 このようにして計算した平方差の合計を "残余の平方和" (ssresid) と呼びます。 次に、"総平方和" (sstotal) が計算されます。 const 引数 = TRUE または省略した場合、総和は実際の y 値と y 値の平均との差の 2 乗の和になります。 const 引数 = FALSE の場合、平方和の合計は実際の Y の値の 2 乗の和です (個々の Y 値から平均 Y 値を減算しない)。 回帰の平方和 ssreg は、ssreg = sstotal - ssresid として計算されます。 平方和の残差が全平方和と比較して小さいほど、回帰分析から得られた方程式が変数間の関係をどの程度うまく説明しているかを示す指標である決定係数 r2 の値が大きくなります。 r2 の値は ssreg/sstotal と等しくなります。
場合によっては、1 つ以上の X 列 (Y と X が列内にあると仮定) に他の X 列がある場合に、追加の予測値がないことがあります。 言い換えると、1 つ以上の X 列を削除すると、予測される Y 値が等しく正確になる可能性があります。 その場合、これらの冗長な X 列は回帰モデルから省略する必要があります。 この現象は、任意の冗長な X 列を非冗長 X 列の倍数の合計として表すことができるため、"共線性" と呼ばれます。 LINEST 関数は、共線性をチェックし、冗長な X 列を識別したら回帰モデルから削除します。 削除された X 列は、 LINEST 出力で 0 の se 値に加えて 0 の係数を持つものとして認識できます。 1 つ以上の列が冗長なものとして削除された場合、df は予測目的で実際に使用される X 列の数に依存するため、df に影響します。 df の計算の詳細については、 例 4 を参照してください。 冗長な X 列が削除されたために df が変更された場合は、sey と F の値にも影響します。 共線性は、実際には比較的まれであるはずです。 ただし、一部の X 列に、実験の被験者が特定のグループのメンバーであるかどうかの指標として 0 と 1 の値しか含まれていない場合です。 const = TRUE であるか省略した場合、LINEST 関数は事実上、切片をモデル化するために 1 つの値すべての X 列を追加で挿入します。 男性の場合は被験者ごとに 1、そうでない場合は 0 の列があり、女性の場合は被験者ごとに 1、そうでない場合は 0 の列もある場合、後者の列は重複しています。なぜなら、 LINEST 関数によって追加された 1 つの値の追加の列のエントリから "男性インジケーター" 列のエントリを減算することで取得できるため、後者の列は冗長です。
共線性のためにモデルから X 列が削除されない場合、df の値は次のように計算されます。 known_x の列が k 個あり、 const = TRUE または省略される場合、df = n – k – 1。 const = FALSE の場合、df = n - k。 どちらの場合も、共線性のために削除された各 X 列は、df の値を 1 ずつ増やします。
配列定数 ( known_x など) を引数として入力する場合、同じ行に含まれる値を区切るにはコンマを使用し、行を区切るにはセミコロンを使用します。 区切り記号は、地域設定によって異なる場合があります。
回帰方程式によって予測計算された y の値が、方程式を決定するときに使用した y の値の範囲では、適切な値にならない場合があります。
LINEST 関数の基になるアルゴリズムは、SLOPE 関数や INTERCEPT 関数の基になるアルゴリズムとは異なります。 そのため、データが不定で共線性がある場合に、結果が異なることがあります。 たとえば、 known_y 引数のデータ ポイントが 0 で、 known_x 引数のデータ ポイントが 1 の場合、次のようになります。
- LINEST 関数では値 0 が返されます。 "LINEST" のアルゴリズムでは、共線性があるデータに対して適切な結果を返すようになっており、この場合は少なくとも 1 つの答えが見つかります。
- SLOPE 関数と INTERCEPT 関数では、エラー #DIV/0! が返されます。 SLOPE 関数と INTERCEPT 関数のアルゴリズムは唯一の答えを見つけるようになっており、この場合は複数の答えがあり得ます。
LOGEST を使用して他の種類の回帰分析の統計を計算することに加えて、LINEST を使用すると、x 変数と y 変数の関数を LINEST の x 系列と y 系列として入力することによって、他の一連の回帰分析を計算できます。 例として、次の数式を参照してください。
=LINEST(yvalues, xvalues^COLUMN($A:$C))
この数式では、単一列の x 値と y 値を使用して、次の形式の立方体 (3 次多項式) の近似値を計算できます。
y = m1*x + m2*x^2 + m3*x^3 + b
この式を調整することによって、他の種類の回帰分析を計算できますが、出力値およびその他の統計値の調整が必要になる場合もあります。LINEST 関数から返される F 検定の値は、FTEST 関数から返される F 検定の値と異なります。 LINEST 関数は F 補正項を返し、FTEST 関数は確率を返します。
使用例
使用例 1: 傾きと y 切片
次の表のサンプル データをコピーし、新しい Excel ワークシートのセル A1 に貼り付けます。 数式を選択して、F2 キーを押し、さらに Enter キーを押すと、結果が表示されます。 必要に応じて、列幅を調整してすべてのデータを表示してください。
| 既知の y | 既知の x |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 9 | 4 |
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 結果 (傾き) | 結果 (y 切片) |
| 2 | 1 |
| 数式 (セル A7:B7 に含まれる配列数式) | |
| =LINEST(A2:A5,B2:B5,,FALSE) |
使用例 2: 変数の線形回帰
次の表のサンプル データをコピーし、新しい Excel ワークシートのセル A1 に貼り付けます。 数式を選択して、F2 キーを押し、さらに Enter キーを押すと、結果が表示されます。 必要に応じて、列幅を調整してすべてのデータを表示してください。
| 月 | 売上 |
|---|---|
| 1 | ¥310,000 |
| 2 | ¥450,000 |
| 3 | ¥440,000 |
| 4 | ¥540,000 |
| 5 | ¥750,000 |
| 6 | ¥810,000 |
| 数式 | 結果 |
| =SUM(LINEST(B1:B6, A1:A6)*{9,1}) | ¥1,100,000 |
| 1 ～ 6 月の売上に基づいて 9 番目の月の売上の推定値を計算します。 |
使用例 3: 多変数の線形回帰
次の表のサンプル データをコピーし、新しい Excel ワークシートのセル A1 に貼り付けます。 数式を選択して、F2 キーを押し、さらに Enter キーを押すと、結果が表示されます。 必要に応じて、列幅を調整してすべてのデータを表示してください。
| 床面積 (x1) | オフィスの数 (x2) | 入口の数 (x3) | 築年数 (x4) | 評価額 (y) |
|---|---|---|---|---|
| 2310 | 2 | 2 | 20 | ¥14,200,000 |
| 2333 | 2 | 2 | 12 | ¥14,400,000 |
| 2356 | 3 | 1.5 | 33 | ¥15,100,000 |
| 2379 | 3 | 2 | 43 | ¥15,000,000 |
| 2402 | 2 | 3 | 53 | ¥13,900,000 |
| 2425 | 4 | 2 | 23 | ¥16,900,000 |
| 2448 | 2 | 1.5 | 99 | ¥12,600,000 |
| 2471 | 2 | 2 | 34 | ¥14,290,000 |
| 2494 | 3 | 3 | 23 | ¥16,300,000 |
| 2517 | 4 | 4 | 55 | ¥16,900,000 |
| 2540 | 2 | 3 | 22 | ¥14,900,000 |
| -234.2371645 | ||||
| 13.26801148 | ||||
| 0.996747993 | ||||
| 459.7536742 | ||||
| 1732393319 | ||||
| 数式 (A19 に入力した動的配列数式) | ||||
| =LINEST(E2:E12,A2:D12,TRUE,TRUE) |
例 4 - Fと R 2 統計を使用する
前の例では、決定係数 (r2) は 0.99675 ( LINEST の出力のセル A17 を参照) であり、これは独立変数と販売価格の間に強いリレーションシップがあることを示しています。 F 補正項を利用すると、このように高い r2 の値が偶然の結果であるかどうかを調べることができます。
実際には変数間に相関関係など存在せず、選択した 11 のオフィス ビルがたまたま特異な例であり、強い相関関係を示す統計分析をもたらしたと仮定します。 このように、相関関係が存在すると誤って結論づける確率を "アルファ" と称します。
LINEST 関数からの出力の F 値と df 値を使用して、偶然により高い F 値が発生する可能性を評価できます。 F は、公開された F 分布テーブルの境界値と比較するか、Excel の FDIST 関数を使用して、より大きな F 値が偶然発生する確率を計算できます。 適切な F 分布には、v1 および v2 の自由度があります。 n がデータ ポイントの数で、const = TRUE または省略の場合、v1 = n – df – 1 および v2 = df です。 (const = FALSE の場合、v1 = n – df および v2 = df。) FDIST 関数は、構文 FDIST(F,v1,v2) で、偶然により高い F 値が発生する確率を返します。 この例では、df = 6 (セル B18)、F = 459.753674 (セル A18) です。
α値 0.05、v1 = 11 - 6 - 1 = 4、および v2 = 6 とすると、F の臨界値は 4.53 です。 459.753674 という F 値は 4.53 を大幅に超えているので、このように大きな F 値が偶然に発生する可能性は非常に低くなります。 (Alpha = 0.05 の場合、 known_y と known_x の間に関係がないという仮説は、F が臨界レベル 4.53 を超えたときに棄却されます。Excel の FDIST 関数を使用すると、この高い F 値が偶然に発生した確率を求めることができます。 FDIST(459.753674, 4, 6) = 1.37E-7 となり、これは非常に低い確率です。 F 確率分布表の臨界値と比較するか、Excel の FDIST 関数を使用すると、オフィス ビルの評価額を予測するうえで回帰方程式が有効かどうかを判断できます。 ここで、v1 および v2 には、前の段落で計算した正しい値を使用することが重要です。
使用例 5: t 補正項の計算
もう 1 つの仮説検定を使うと、直線の傾きを表すそれぞれの係数が「使用例 3」のオフィス ビルの評価額の予測に有効であるかどうかを調べることができます。 たとえば、築年数の係数が統計的に有意であるかどうかを調べるには、-234.24 (築後年数の係数) を 13.268 (セル A15 に表示されている築後年数の係数についての標準誤差の予測値) で除算します。 次の数式により、t の観測値を計算できます。
t = m4 ÷ se4 = -234.24 ÷ 13.268 = -17.7
t の絶対値が十分に大きい場合は、「使用例 3」のオフィス ビルの評価額を予測するうえで、直線の傾きを表す係数が有効であると判断できます。 次に、4 t の観測値の絶対値の一覧を示します。
統計学の教科書の一覧表を参照すると、自由度 6、アルファ 0.05 として、t の臨界値 (両側) は 2.447 であることがわかります。 この臨界値は、Excel の TINV 関数を使用して計算することもできます。 TINV(0.05,6) = 2.447 とします。 t の絶対値は 17.7 で臨界値の 2.447 よりも大きいため、オフィス ビルの評価額を予測するとき、築後年数が重要な変数であることがわかります。 その他の各独立変数についても、同様の方法で統計的な有意性を調べることができます。 次に、それぞれの独立変数に対する t の観測値の一覧を示します。
| 変数 | t の観測値 |
|---|---|
| 床面積 | 5.1 |
| オフィスの数 | 31.3 |
| 入口の数 | 4.8 |
| 築年数 | 17.7 |
これらの値の絶対値はすべて 2.447 よりも大きくなるため、回帰方程式のすべての変数が、オフィス ビルの評価額を予測するうえで有効であることを確認できます。